Есть ли в PSPACE проблемы, для которых не существует известного алгоритма NP?
В области теории сложности вычислений, особенно при изучении классов пространственной сложности, значительный интерес представляет связь между PSPACE и NP. Если обратиться к вопросу напрямую: да, в PSPACE есть проблемы, для которых не существует известного алгоритма NP. Это утверждение основано на определениях и отношениях между этими классами сложности.
PSPACE — это класс задач решения, которые можно решить с помощью машины Тьюринга, используя полиномиальный объем пространства. Другими словами, проблема в PSPACE, если существует алгоритм, который может решить ее, используя объем памяти, полиномиальный по размеру входных данных. Этот класс охватывает широкий спектр задач, некоторые из которых довольно сложны и включают сложные вычислительные процессы.
NP, с другой стороны, представляет собой класс задач принятия решений, для которых предлагаемое решение может быть проверено за полиномиальное время с помощью детерминированной машины Тьюринга. Это означает, что если кто-то предоставит вам возможное решение проблемы в NP, вы сможете быстро проверить правильность этого решения, особенно за полиномиальное время относительно размера входных данных.
Отношения между этими двумя классами таковы, что NP является подмножеством PSPACE. Это связано с тем, что любая проблема, которую можно проверить за полиномиальное время, также может быть решена в полиномиальном пространстве. Чтобы понять почему, учтите, что верификатор с полиномиальным временем может читать только полиномиальное количество бит входных данных и предлагаемого решения. Следовательно, его можно моделировать с помощью машины с полиномиальным пространством, которая отслеживает считанные позиции и выполненные операции.
Однако неизвестно, верно ли обратное; то есть неизвестно, является ли PSPACE подмножеством NP. На самом деле широко распространено мнение, что PSPACE содержит проблемы, которых нет в NP, хотя формально это не доказано. Это убеждение основано на существовании проблем в PSPACE, для решения которых, по-видимому, требуется больше, чем полиномиальное время, даже если их можно решить с помощью полиномиального пространства.
Одним из канонических примеров проблемы в PSPACE, о которой неизвестно, что она существует в NP, является проблема количественной логической формулы (QBF). QBF является обобщением булевой проблемы выполнимости (SAT), которая является NP-полной. В то время как SAT спрашивает, существует ли присвоение значений истинности переменным, которое делает данную логическую формулу истинной, QBF использует вложенные кванторы над переменными, например, «для всех x существует такое, что формула истинна». Наличие этих кванторов значительно усложняет QBF. QBF является PSPACE-полной, то есть она так же сложна, как и любая другая задача в PSPACE. Если бы для QBF существовал алгоритм NP, это означало бы, что NP равняется PSPACE, результат, который был бы новаторским и широко считается маловероятным.
Другим показательным примером является задача определения победителя в обобщенных играх, таких как обобщенные варианты шахмат или го, играемых на доске N x N. Эти проблемы включают в себя потенциально экспоненциальное количество ходов и конфигураций, но их можно решить, используя полиномиальное пространство, систематически исследуя все возможные состояния игры. Эти проблемы также являются PSPACE-полными, что еще раз указывает на существование проблем в PSPACE, которых нет в NP.
Чтобы глубже понять, почему некоторые проблемы в PSPACE считаются выходящими за рамки NP, рассмотрим природу вычислений, ограниченных пространством и временем. Полиномиальное пространство допускает потенциально экспоненциальное количество вычислительных шагов, пока используемое пространство остается полиномиально ограниченным. Это резко контрастирует с NP, где время ограничено полиномиально. Экспоненциальное время, предоставляемое полиномиальным пространством, может быть использовано для решения задач, связанных с исчерпывающим поиском в экспоненциально больших пространствах, таких как те, которые встречаются в QBF и обобщенных играх.
Более того, существуют сложные теоретические конструкции, которые еще больше подтверждают различие между PSPACE и NP. Например, концепция чередования, введенная Чандрой, Козеном и Стокмейером, обобщает недетерминизм и приводит к классу AP (чередующееся полиномиальное время). Было показано, что AP равен PSPACE, что дает другой взгляд на возможности вычислений в полиномиальном пространстве. Чередование включает в себя последовательность кванторов существования и универсальности, отражающих структуру QBF, и демонстрирует сложность, присущую проблемам PSPACE.
Также стоит отметить, что разделение классов сложности является фундаментальным открытым вопросом в теоретической информатике. Знаменитая проблема P и NP является частным случаем этого более широкого исследования. Аналогично, вопрос о том, равно ли NP PSPACE, остается нерешенным. Однако консенсус в этой области, основанный на обширных исследованиях и характере известных проблем, заключается в том, что PSPACE, вероятно, содержит проблемы, которых нет в NP.
Существование задач в PSPACE, для которых не существует известного NP-алгоритма, подтверждается определениями и связями между этими классами сложности, а также конкретными примерами, такими как QBF и обобщенные игровые задачи. Эти примеры подчеркивают сложные и потенциально экспоненциальные вычислительные процессы, которыми можно управлять в полиномиальном пространстве, но вряд ли они будут ограничены полиномиальным временем, что ставит их за пределы области NP.
Другие недавние вопросы и ответы, касающиеся Многогранность:
- Класс PSPACE не равен классу EXPSPACE?
- Является ли класс сложности P подмножеством класса PSPACE?
- Можем ли мы доказать, что классы Np и P совпадают, найдя эффективное полиномиальное решение для любой NP-полной задачи в детерминированной TM?
- Может ли класс NP быть равен классу EXPTIME?
- Может ли проблема SAT быть полной NP-проблемой?
- Может ли проблема относиться к классу сложности NP, если существует недетерминированная машина Тьюринга, которая решит ее за полиномиальное время?
- NP — это класс языков, которые имеют верификаторы полиномиального времени.
- Являются ли P и NP на самом деле одним и тем же классом сложности?
- Каждый ли контекстно-свободный язык относится к классу сложности P?
- Существует ли противоречие между определением NP как класса задач решения с верификаторами с полиномиальным временем и тем фактом, что проблемы в классе P также имеют верификаторы с полиномиальным временем?
Посмотреть больше вопросов и ответов в категории Сложность