Может ли проблема SAT быть полной NP-проблемой?

/ / Опубликовано в Информационная безопасность, EITC/IS/CCTF Основы теории вычислительной сложности, Многогранность, Доказательство того, что SAT является NP полным

Вопрос о том, может ли задача SAT (Boolean satisfiability) быть NP-полной задачей, является фундаментальным в теории сложности вычислений. Чтобы ответить на него, необходимо рассмотреть определения и свойства NP-полноты и изучить исторический и теоретический контекст, который лежит в основе классификации SAT как NP-полной задачи.

Определения и контекст

СБ проблема: Задача SAT включает в себя определение того, существует ли присвоение значений истинности переменным, которое делает данную булеву формулу истинной. Булева формула обычно выражается в конъюнктивной нормальной форме (CNF), где формула представляет собой соединение предложений, а каждое предложение представляет собой дизъюнкцию литералов. Например, формула может выглядеть так:

    \[ (x_1 \lor \neg x_2) \land (\neg x_1 \lor x_3) \land (x_2 \lor \neg x_3). \]

NP (недетерминированное полиномиальное время): Проблема принятия решения находится в NP, если данное решение может быть проверено как правильное или неправильное за полиномиальное время с помощью детерминированной машины Тьюринга. По сути, если у вас есть возможное решение, вы можете эффективно проверить его достоверность.

NP-Complete: Задача является NP-полной, если она удовлетворяет двум условиям:
1. Это в НП.
2. Любую задачу из NP можно свести к ней за полиномиальное время.

Концепция NP-полноты была введена Стивеном Куком в его плодотворной статье 1971 года «Сложность процедур доказательства теорем», где он продемонстрировал, что проблема SAT является первой известной NP-полной проблемой. Этот результат теперь известен как теорема Кука.

Теорема Кука и ее следствия

Чтобы понять, почему SAT является NP-полным, нам необходимо установить два ключевых момента:
1. САТ находится в НП.
2. Любую задачу в NP можно свести к SAT за полиномиальное время.

SAT находится в НП

Чтобы убедиться, что SAT находится в NP, учтите, что с учетом логической формулы и предлагаемого присвоения значений истинности ее переменным мы можем проверить, является ли формула истинной за полиномиальное время. Это включает в себя оценку каждого предложения в формуле, чтобы увидеть, является ли хотя бы один литерал в каждом предложении истинным. Поскольку вычисление булевой формулы — это простой процесс, включающий конечное число логических операций, его можно выполнять эффективно. Таким образом, SAT находится в NP, потому что мы можем проверить решение за полиномиальное время.

Полиномиальное сокращение времени

Более сложная часть доказательства того, что SAT NP-полна, состоит в том, чтобы показать, что каждую задачу из NP можно свести к SAT за полиномиальное время. Это предполагает демонстрацию того, что для любой проблемы в NP существует вычислимая за полиномиальное время функция, которая преобразует экземпляры проблемы в экземпляры SAT так, что исходная проблема имеет решение тогда и только тогда, когда преобразованный экземпляр SAT выполним.

Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим общую задачу P в НП. По определению существует недетерминированная машина Тьюринга с полиномиальным временем. M это решает P. Машина M имеет процесс проверки с полиномиальным временем, который может проверить, действителен ли данный сертификат (решение). Мы можем закодировать операцию M на входе x как булева формула такая, что формула выполнима тогда и только тогда, когда M принимает x.

Кодирование включает в себя следующие этапы:
1. Кодирование конфигурации: Закодируйте конфигурации (состояния, содержимое ленты и положения головок) M как логические переменные. Каждая конфигурация может быть представлена ​​последовательностью битов.
2. Кодирование перехода: Закодировать функцию перехода M как набор логических ограничений. Эти ограничения гарантируют, что будут зафиксированы допустимые переходы между конфигурациями.
3. Начальное и принимающее состояния: Закодируйте исходную конфигурацию (когда машина запускается) и принимающую конфигурацию (когда машина останавливается и принимает) как логические ограничения.

Построив булеву формулу, отражающую поведение M, мы создаем экземпляр SAT, который является выполнимым тогда и только тогда, когда существует последовательность допустимых переходов, ведущих к принимающему состоянию. Это сокращение может быть выполнено за полиномиальное время относительно размера входных данных. x.

Пример: Сокращение с 3-SAT до SAT

Чтобы дополнительно прояснить концепцию сокращения полиномиального времени, рассмотрим конкретный случай сокращения 3-SAT до SAT. Задача 3-SAT — это частный случай SAT, где каждое предложение имеет ровно три литерала. Чтобы свести 3-SAT к SAT, мы можем просто заметить, что любой экземпляр 3-SAT уже находится в форме, требуемой SAT (т. е. формуле CNF). Следовательно, сокращение тривиально и может быть выполнено за линейное время, что является сокращением за полиномиальное время.

Последствия того, что SAT является NP-полным

Классификация SAT как NP-полной имеет глубокие последствия для теории сложности вычислений и практического решения проблем. Поскольку SAT является NP-полной, любая проблема в NP может быть преобразована в экземпляр SAT. Эта универсальность означает, что SAT служит эталоном сложности других проблем. Если мы сможем найти алгоритм с полиномиальным временем для решения SAT, мы сможем решить все задачи NP за полиномиальное время, подразумевая П = НП.

И наоборот, если мы докажем, что для SAT не существует алгоритма с полиномиальным временем, это будет означать, что P \neq NP. Несмотря на обширные исследования, вопрос о том, П = НП остается одной из наиболее значительных открытых проблем в информатике.

Практическое применение

На практике решатели SAT широко используются в различных областях, включая проверку программного обеспечения, искусственный интеллект и криптографию. Современные решатели SAT используют сложные алгоритмы и эвристики для эффективной обработки больших и сложных экземпляров, несмотря на теоретическую NP-полноту SAT. Эти решатели позволили решать реальные проблемы, которые ранее были неразрешимыми.

Заключение

Проблема SAT действительно является NP-полной проблемой, как это установлено теоремой Кука. Эта классификация основана на том факте, что SAT находится в NP и что каждая задача в NP может быть сведена к SAT за полиномиальное время. Последствия того, что SAT является NP-полным, имеют далеко идущие последствия, влияя как на теоретические исследования, так и на практические приложения в информатике.

Другие недавние вопросы и ответы, касающиеся Многогранность:

Посмотреть больше вопросов и ответов в категории Сложность

Еще вопросы и ответы:

Теги: , , , , ,