Существует ли противоречие между определением NP как класса задач решения с верификаторами с полиномиальным временем и тем фактом, что проблемы в классе P также имеют верификаторы с полиномиальным временем?
Класс NP, обозначающий недетерминированное полиномиальное время, занимает центральное место в теории сложности вычислений и охватывает проблемы принятия решений, которые имеют верификаторы с полиномиальным временем. Проблема принятия решения — это проблема, которая требует ответа «да» или «нет», и верификатор в этом контексте — это алгоритм, который проверяет правильность данного решения.
Важно различать решение задачи (вычисление) и проверку решения (проверку). В NP основное внимание уделяется тому, существует ли верификатор с полиномиальным временем, который может подтвердить правильность решения.
Класс P, представляющий полиномиальное время, включает проблемы принятия решений, которые можно решить с помощью детерминированной машины Тьюринга за полиномиальное время. Таким образом, для каждой задачи в P существует не только алгоритм с полиномиальным временем для поиска решения, но также существует алгоритм с полиномиальным временем для проверки решения.
Кажущееся противоречие заключается в наблюдении, что каждая проблема в P, по своей сути имеющая алгоритм решения с полиномиальным временем, также имеет верификатор с полиномиальным временем. Однако это не противоречит определению НП. Определяющей особенностью NP является существование верификатора с полиномиальным временем, независимо от того, сколько времени может потребоваться для поиска решения. Это означает, что все проблемы из P также относятся к NP, поскольку их решения можно проверить за полиномиальное время.
Например, рассмотрим задачу тестирования простых чисел. Эту проблему можно сформулировать двумя способами: генерировать простые числа и проверять, является ли данное число простым. Решето Эратосфена — это алгоритм генерации всех простых чисел до определенного предела, который делает это эффективно, но его временная сложность не является полиномиальной в строгом смысле, используемом в теории сложности вычислений; его часто обозначают как O(n log log n), что лучше, чем линейное, но не строго полиномиальное в соответствии с определением P. С другой стороны, проблема проверки того, является ли данное число простым (тестирование простых чисел), является другая задача. Эффективные алгоритмы, такие как тест на простоту AKS, позволяют выполнять проверку простых чисел за полиномиальное время. Следовательно, проблема проверки простых чисел в контексте проверки попадает в класс P, а также в класс NP, поскольку решение (будь то число простым) может быть проверено за полиномиальное время. Это показывает, что, хотя генерация простых чисел и проверка простых чисел связаны, они требуют разных соображений с точки зрения вычислительной сложности.
В заключение, определение NP как наличия верификаторов за полиномиальное время соответствует природе P. Различие заключается не в этапе проверки, а в процессе поиска решений: проблемы P разрешимы и проверяемы за полиномиальное время, в то время как проблемы NP проверяемы за полиномиальное время, но не всегда известно, можно ли их решить за полиномиальное время.
Другие недавние вопросы и ответы, касающиеся Многогранность:
- Класс PSPACE не равен классу EXPSPACE?
- Является ли класс сложности P подмножеством класса PSPACE?
- Можем ли мы доказать, что классы Np и P совпадают, найдя эффективное полиномиальное решение для любой NP-полной задачи в детерминированной TM?
- Может ли класс NP быть равен классу EXPTIME?
- Есть ли в PSPACE проблемы, для которых не существует известного алгоритма NP?
- Может ли проблема SAT быть полной NP-проблемой?
- Может ли проблема относиться к классу сложности NP, если существует недетерминированная машина Тьюринга, которая решит ее за полиномиальное время?
- NP — это класс языков, которые имеют верификаторы полиномиального времени.
- Являются ли P и NP на самом деле одним и тем же классом сложности?
- Каждый ли контекстно-свободный язык относится к классу сложности P?
Посмотреть больше вопросов и ответов в категории Сложность