Всегда ли амплитуды квантовых состояний являются действительными числами?
В сфере квантовой информации концепция квантовых состояний и связанных с ними амплитуд является основополагающей. Чтобы ответить на вопрос о том, должна ли амплитуда квантового состояния быть действительным числом, необходимо рассмотреть математический формализм квантовой механики и принципы, управляющие квантовыми состояниями.
Квантовая механика представляет состояние квантовой системы с использованием математического объекта, известного как волновая функция или вектор состояния, обычно обозначаемого (psi) (psi) или (ket{psi}) в нотации Дирака. Этот вектор состояния находится в комплексном векторном пространстве, называемом гильбертовым пространством. Элементы этого пространства, векторы состояния, обычно представляют собой комплексные функции.
Амплитуда квантового состояния относится к коэффициентам, которые появляются при разложении вектора состояния по выбранному базису. Для квантовой системы, описываемой вектором состояния ( ket{psi} ), если мы выражаем это состояние через базис ( { ket{phi_i} }), мы имеем:
[ кет{пси} = sum_i c_i кет{фи_i} ]Здесь ( c_i ) — комплексные амплитуды, связанные с базисными состояниями ( ket{phi_i} ). Эти амплитуды ( c_i ), как правило, являются комплексными числами. Это прямое следствие требования, чтобы внутреннее пространство продукта было полным и соответствовало принципам квантовой суперпозиции и интерференции.
Сложная природа амплитуд важна по нескольким причинам:
1. Принцип суперпозиции: Квантовая механика допускает суперпозицию состояний. Если ( ket{psi_1} ) и ( ket{psi_2} ) являются двумя действительными квантовыми состояниями, то любая линейная комбинация ( Alpha ket{psi_1} + beta ket{psi_2} ), где (alpha) и (beta) — комплексные числа, также является действительным квантовым состоянием. Комплексные коэффициенты (альфа) и (бета) представляют амплитуды соответствующих состояний в суперпозиции.
2. Вероятностная интерпретация: Вероятность измерения конкретного результата в квантовой системе определяется квадратом модуля амплитуды. Если ( c_i ) является амплитудой состояния ( ket{phi_i} ), вероятность ( P_i ) измерения состояния ( ket{phi_i} ) определяется следующим образом:
[ P_i = |c_i|^2 = c_i^* c_i ]где ( c_i^* ) — комплексно-сопряженное число ( c_i ). Эта вероятность должна быть действительным числом от 0 до 1, но сама амплитуда ( c_i ) может быть комплексной.
3. Эффекты помех: Сложная природа амплитуд важна для описания интерференционных явлений. Когда два или более квантовых пути интерферируют, результирующая амплитуда представляет собой сумму отдельных амплитуд, а разность фаз между этими комплексными амплитудами приводит к конструктивной или деструктивной интерференции. Это фундаментальный аспект таких явлений, как эксперимент с двумя щелями.
4. Унитарная эволюция: Временная эволюция квантового состояния определяется уравнением Шредингера, в котором участвует оператор Гамильтона. Решениями этого уравнения обычно являются комплексные функции. Унитарные операторы, описывающие эволюцию, сохраняют норму вектора состояния, но могут изменять его фазу, тем самым требуя, чтобы амплитуды были комплексными.
Чтобы проиллюстрировать эти положения, рассмотрим простой пример кубита — базовой единицы квантовой информации. Кубит может находиться в суперпозиции базисных состояний ( ket{0} ) и ( ket{1} ):
[ кет{пси} = альфа-кет{0} + бета-кет{1}]Здесь ( альфа ) и ( бета ) — комплексные числа такие, что ( |alpha|^2 + |beta|^2 = 1 ). Это условие нормализации гарантирует, что общая вероятность найти кубит в любом состоянии ( ket{0} ) или ( ket{1} ) равна 1. Сложная природа ( альфа ) и ( бета ) допускает богатую структуру квантовых состояний. и необходим для задач квантовых вычислений и обработки информации.
Например, рассмотрим ворота Адамара, фундаментальные квантовые ворота, используемые для создания состояний суперпозиции. При применении к базовому состоянию ( ket{0} ) вентиль Адамара создает состояние:
[ кет{+} = гидроразрыв{1}{sqrt{2}} (кет{0} + кет{1}) ]Здесь амплитуда как для ( ket{0} ), так и для ( ket{1} ) равна ( frac{1}{sqrt{2}} ), что является действительным числом. Однако, если мы применим вентиль Адамара к состоянию ( ket{1} ), мы получим:
[кет{-} = frac{1}{sqrt{2}} (кет{0} – кет{1}) ]В этом случае амплитуда для ( ket{1} ) равна ( -frac{1}{sqrt{2}} ), что по-прежнему является реальным. Тем не менее, рассмотрим фазовый вентиль, который вводит сложный фазовый коэффициент. Фазовый вентиль ( R(theta) ) действует на состояние кубита ( ket{psi} = альфа-кет{0} + бета-кет{1}) следующим образом:
[ R(тета) кет{пси} = альфа кет{0} + бета e^{итета} кет{1} ]Здесь ( e^{itheta} ) — комплексное число с единичным модулем. Эта операция ясно показывает, что амплитуда состояния ( ket{1} ) может приобретать комплексный фазовый множитель, что подчеркивает необходимость комплексных амплитуд в квантовой механике.
Кроме того, рассмотрим явление квантовой запутанности, когда состояние одной частицы неразрывно связано с состоянием другой, независимо от расстояния между ними. Запутанное состояние двух кубитов можно представить как:
[ кет{psi} = frac{1}{sqrt{2}} (кет{00} + e^{iphi} кет{11}) ]Здесь (e^{iphi}) — комплексный фазовый фактор, демонстрирующий, что относительная фаза между компонентами запутанного состояния важна для описания свойств запутанности.
В квантовых вычислениях использование комплексных амплитуд необходимо для реализации квантовых алгоритмов. Например, алгоритм Шора для факторизации больших целых чисел и алгоритм Гровера для неструктурированного поиска основаны на интерференции комплексных амплитуд для достижения экспоненциального ускорения по сравнению с классическими алгоритмами.
Необходимость комплексных амплитуд также очевидна в контексте квантовой коррекции ошибок. Квантовые коды с исправлением ошибок, такие как код Шора или код Стина, кодируют логические кубиты в запутанные состояния нескольких физических кубитов. Комплексные амплитуды в этих кодах гарантируют, что ошибки могут быть обнаружены и исправлены без разрушения квантовой информации.
Амплитуда квантового состояния не обязательно должна быть действительным числом. Сложная природа квантовых амплитуд является фундаментальным аспектом квантовой механики, позволяющим описывать суперпозицию, интерференцию и запутанность. Использование комплексных чисел необходимо для математической непротиворечивости квантовой теории и практической реализации задач квантовой обработки информации.
Другие недавние вопросы и ответы, касающиеся EITC/QI/QIF Основы квантовой информации:
- Как работает квантовый вентиль отрицания (квантовое НЕ или вентиль Паули-Х)?
- Почему ворота Адамара являются самообратимыми?
- Если измерить 1-й кубит состояния Белла в определенном базисе, а затем измерить 2-й кубит в базисе, повернутом на определенный угол тета, вероятность того, что вы получите проекцию на соответствующий вектор, будет равна квадрату синуса тета?
- Сколько бит классической информации потребуется для описания состояния произвольной суперпозиции кубита?
- Сколько измерений имеет пространство из 3 кубитов?
- Уничтожит ли измерение кубита его квантовую суперпозицию?
- Могут ли квантовые вентили иметь больше входов, чем выходов, как и классические вентили?
- Включает ли универсальное семейство квантовых вентилей ворота CNOT и ворота Адамара?
- Что такое двухщелевой эксперимент?
- Эквивалентно ли вращение поляризационного фильтра изменению основы измерения поляризации фотонов?
Посмотреть больше вопросов и ответов в EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals