Класс PSPACE не равен классу EXPSPACE?
Вопрос о том, не равен ли класс PSPACE классу EXPSPACE, является фундаментальной и нерешенной проблемой теории сложности вычислений. Чтобы обеспечить всестороннее понимание, важно рассмотреть определения, свойства и последствия этих классов сложности, а также более широкий контекст пространственной сложности.
Определения и основные свойства
PSPACE: Класс PSPACE состоит из всех задач решения, которые могут быть решены машиной Тьюринга, используя полиномиальный объем пространства. Формально язык L находится в PSPACE, если существует машина Тьюринга M и полиномиальная функция p(n) такие, что для каждого входного сигнала x машина M решает, находится ли x в L, используя не более p(|x|) пространства. PSPACE охватывает широкий спектр задач, в том числе те, которые разрешимы за полиномиальное время (P), и те, которые являются полными для PSPACE, например, проблема количественной логической формулы (QBF).
EXPSPACE: Класс EXPSPACE включает в себя все задачи решения, которые могут быть решены с помощью машины Тьюринга, используя экспоненциальный объем пространства. В частности, язык L находится в EXPSPACE, если существует машина Тьюринга M и экспоненциальная функция f(n) такая, что для каждого входа x машина M решает, находится ли x в L, используя не более 2^f(|x|) космос. EXPSPACE — это более крупный класс, чем PSPACE, поскольку он позволяет использовать экспоненциально больше места, что позволяет решать более широкий круг задач.
Связь между PSPACE и EXPSPACE
Чтобы понять взаимосвязь между PSPACE и EXPSPACE, важно признать иерархию классов пространственной сложности. По определению, PSPACE содержится в EXPSPACE, потому что любая проблема, которую можно решить с использованием полиномиального пространства, также может быть решена с использованием экспоненциального пространства. Формально PSPACE ⊆ EXPSPACE. Однако обратное не обязательно верно; широко распространено мнение, что EXPSPACE содержит проблемы, которые невозможно решить с использованием полиномиального пространства, подразумевая, что PSPACE ≠ EXPSPACE.
Примеры и выводы
Рассмотрим задачу QBF, которая является PSPACE-полной. Эта проблема включает в себя определение истинности количественной булевой формулы и может быть решена с использованием полиномиального пространства. Поскольку QBF является PSPACE-полной, любую задачу в PSPACE можно свести к QBF за полиномиальное время. С другой стороны, примером проблемы в EXPSPACE, но не обязательно в PSPACE, является проблема достижимости чередующихся машин Тьюринга с экспоненциальными границами пространства. Эта проблема требует отслеживания экспоненциально многих конфигураций, что невозможно в полиномиальном пространстве.
Теорема о пространственной иерархии
Теорема о пространственной иерархии обеспечивает формальную основу для убеждения, что PSPACE строго содержится в EXPSPACE. Эта теорема утверждает, что для любой функции f(n), которую можно построить в пространстве, существует язык, который можно решить в пространстве f(n), но не в пространстве o(f(n)). Применяя эту теорему при f(n) = 2^n, мы получаем, что существуют задачи, разрешимые в экспоненциальном пространстве, которые не могут быть решены ни в каком субэкспоненциальном пространстве, включая полиномиальное пространство. Следовательно, из теоремы о пространственной иерархии следует, что PSPACE строго содержится внутри EXPSPACE, т. е. PSPACE ⊂ EXPSPACE.
Неразрешенная природа PSPACE ≠ EXPSPACE
Несмотря на убедительные доказательства, представленные теоремой о пространственной иерархии, вопрос о том, не равно ли PSPACE EXPSPACE, остается нерешенным. Это связано с тем, что доказательство строгого неравенства PSPACE ≠ EXPSPACE потребует демонстрации существования конкретной проблемы в EXPSPACE, которую невозможно решить в PSPACE, что до сих пор не решено. Трудность заключается в присущих проблемах доказательства разделения между классами сложности, что является общей темой в теории сложности вычислений.
Более широкий контекст и связанные с ним классы сложности
Отношения между PSPACE и EXPSPACE можно контекстуализировать в более широком контексте классов сложности. Например, класс P (задачи, решаемые за полиномиальное время) является подмножеством PSPACE, и широко распространено мнение, что P ≠ PSPACE. Точно так же класс NP (недетерминированное полиномиальное время) также содержится в PSPACE, а знаменитая проблема P и NP является центральным открытым вопросом в этой области. Отношения сдерживания между этими классами резюмируются следующим образом:
– P ⊆ NP ⊆ PSPACE ⊆ EXPSPACE
В дополнение к этим классам существуют другие важные классы пространственной сложности, такие как L (логарифмическое пространство) и NL (недетерминированное логарифмическое пространство), которые являются подмножествами PSPACE. Отношения между этими классами дополнительно иллюстрируют иерархию вычислительной сложности, основанную на требованиях к пространству.
Вопрос о том, не равно ли PSPACE EXPSPACE, является фундаментальной и нерешенной проблемой теории сложности вычислений. Хотя теорема о пространственной иерархии предоставляет убедительные доказательства того, что PSPACE строго содержится в EXPSPACE, формальное доказательство строгого неравенства PSPACE ≠ EXPSPACE остается неуловимым. Исследование этого вопроса проливает свет на более широкую картину классов сложности и проблемы, связанные с доказательством разделения между ними.
Другие недавние вопросы и ответы, касающиеся Многогранность:
- Является ли класс сложности P подмножеством класса PSPACE?
- Можем ли мы доказать, что классы Np и P совпадают, найдя эффективное полиномиальное решение для любой NP-полной задачи в детерминированной TM?
- Может ли класс NP быть равен классу EXPTIME?
- Есть ли в PSPACE проблемы, для которых не существует известного алгоритма NP?
- Может ли проблема SAT быть полной NP-проблемой?
- Может ли проблема относиться к классу сложности NP, если существует недетерминированная машина Тьюринга, которая решит ее за полиномиальное время?
- NP — это класс языков, которые имеют верификаторы полиномиального времени.
- Являются ли P и NP на самом деле одним и тем же классом сложности?
- Каждый ли контекстно-свободный язык относится к классу сложности P?
- Существует ли противоречие между определением NP как класса задач решения с верификаторами с полиномиальным временем и тем фактом, что проблемы в классе P также имеют верификаторы с полиномиальным временем?
Посмотреть больше вопросов и ответов в категории Сложность